Question

設(shè)數(shù)列{a_n}前n項和S_n，且S_n=2a_n-2，令b_n=log₂a_n
（Ⅰ）試求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=

bn

an

，求證數(shù)列{c_n}的前n項和T_n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
所以，a_n=2a_n-1，即

an

an-1

=2，…（3分）
當(dāng)n=1時，S₁=2a₁-2，a₁=2，…（4分）
由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，數(shù)列{a_n}的通項公式為an=2×2n-1=2n，n∈N+．…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知cn=

n

an

=

n

2n

，…（8分）
所以Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，①
以上等式兩邊同乘以

1

2

，得

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-(

1

2

)n-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
所以Tn=2-

n+2

2n

．
所以T_n＜2．…（12分）

點評：本題考查等比數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，考查錯位相減法的運用，屬于中檔題．