Question

數(shù)列{a_n}，滿足a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

，?n∈N*，m∈[-1，1]，t²-2mt-

15

2

＜bn恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用疊加法求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）利用裂項求和法求出和，最后利用不等式恒成立的條件即可獲得問題的解答．

解答： 解：（1）∵a_n-a_n-1-2n=0，
∴a_n-a_n-1=2n，
∴a₂-a₁=2×2，
a₃-a₂=2×3，
…
a_n-a_n-1=2n，
疊加可得a_n-a₁=2（2+3…+n），
∵a₁=2，
∴a_n=n²+n；
（2）∵a_n=n²+n，∴

1

an

=

1

n

-

1

n+1

∴b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

∵t²-2mt-

15

2

＜bn恒成立，
∴t²-2mt-

15

2

＜

1

2

，
∴t²-2mt-8＜0，
∵m∈[-1，1]，
∴

t2-2t-8＜0 t2+2t-8＜0

，
∴-2＜t＜2．

點評：本題考查的是數(shù)列通項的求法與不等式的綜合問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了解方程的思想、裂項求和法等知識．