Question

（1）已知雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有相同的焦點且與橢圓的一個交點的縱坐標為4，求雙曲線的方程．
（2）求雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1有相同的漸近線且過點（2，3）的雙曲方程．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，（a＞0，b＞0），由已知得c=3，

16

a2

-

15

b2

=1．由此能求出雙曲線方程．
（2）設雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1有相同的漸近線的雙曲線方程為

x2

4

-

y2

3

=λ，λ≠0，把點（2，3）代入，得

4

4

-

9

3

=λ，能求出雙曲線方程．

解答： 解：由題意得橢圓的焦點為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
故可設雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1，（a＞0，b＞0），
由已知得c=3，則a²+b²=9．
由已知條件知，雙曲線與橢圓有一個交點的縱坐標為4，
∴兩交點的坐標為A（

15

，4），B（-

15

，4），點A在雙曲線上，即

16

a2

-

15

b2

=1．
解方程組

a2+b2=9 16 a2 - 15 b2 =1

，得

a2=4 b2=5

，
∴雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1．  …6分
（2）設雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1有相同的漸近線的雙曲線方程為

x2

4

-

y2

3

=λ，λ≠0，
把點（2，3）代入，得

4

4

-

9

3

=λ，即λ=-2，
∴雙曲線方程為：

y2

6

-

x2

8

=1．…12分．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意待定系數(shù)法的合理運用．