Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．

（1）如果直線過(guò)點(diǎn)（0，4），且和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；

（2）已知不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，判斷命題“如果，那么直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)”是真命題還是假命題，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線的方程為、、；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，求得曲線C的方程，之后分直線的斜率存在與不存在兩種情況，根據(jù)直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，得出結(jié)果；

（2）根據(jù)圖形的對(duì)稱性，得出對(duì)應(yīng)的定點(diǎn)在x軸上，設(shè)出直線的方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)向量垂直向量的數(shù)量積等于零，求得對(duì)應(yīng)的結(jié)果.

（1）根據(jù)題意，可知曲線C的方程為，

①直線的斜率不存在，即的方程為，符合題意，

②直線的斜率存在，設(shè)，

與拋物線方程聯(lián)立得，

（ⅰ），符合題意，此時(shí)的方程為，

（ⅱ），則，解得，此時(shí)的方程為，

綜上，符合題意的直線的方程為、、；

（2）由圖形的對(duì)稱性，若直線過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必定落在軸上，

設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)為、、、，

，則，

∵，∴，即，

解得或（舍），

∴命題為真命題．