Question

6．f（x）=x³+ax²+bx+c在區(qū)間（1，2）上有三個(gè)零點(diǎn)，則（　�。�

• A． f（1）f（2）≤$\frac{1}{64}$
• B． f（1）f（2）＜$\frac{1}{64}$
• C． f（1）f（2）＞-$\frac{1}{64}$
• D． f（1）f（2）≥-$\frac{1}{64}$

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=x³+ax²+bx+c在區(qū)間（1，2）上三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，則f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃），表示出f（1）f（2），再利用基本不等式，即可求出結(jié)論．

解答 解：設(shè)f（x）=x³+ax²+bx+c在區(qū)間（1，2）上三個(gè)零點(diǎn)為x₁，x₂，x₃，則f（x）=（x-x₁）（x-x₂）（x-x₃）
f（1）f（2）=（1-x₁）（1-x₂）（1-x₃）（2-x₁）（2-x₂）（2-x₃）
=-[（x₁-1）（2-x₁）][（x₂-1）（2-x₂）][（x₃-1）（2-x₃）]
≥-（$\frac{{x}_{1}-1+2-{x}_{2}}{2}$）²•（$\frac{{x}_{2}-1+2-{x}_{2}}{2}$）²•（$\frac{{x}_{3}-1+2-{x}_{3}}{2}$）²=-$\frac{1}{64}$，
∵三個(gè)零點(diǎn)互不相等，
∴f（1）f（2）＞-$\frac{1}{64}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．