Question

15．（1）試證：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（其中n是正整數(shù)）；
（2）計算：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{9×10}$；
（3）證明：對任意大于1的正整數(shù)n，有$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）可由等式的右邊證到左邊；
（2）運用（1）的結(jié)論，計算即可得到；
（3）運用（1）的結(jié)論，由裂項相消求和，再由不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 （1）證明：$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$，
即有$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$（其中n是正整數(shù)）；
（2）解：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{9×10}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$；
（3）證明：$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{1}{2}$，
則有對任意大于1的正整數(shù)n，有$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查不等式的證明：裂項相消法，考查運算能力，屬于中檔題．