Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若0＜a＜1，解不等式f（x²+6x）+f（4-x）＜0；
（3）若f（1）=

3

2

，g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）且g（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求m的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且f（-x）-f（x），可得f（x）為奇函數(shù)．
（2）0＜a＜1，不等式即 f（x²+6x）＜f（x-4），根據(jù)f（x）=a^x-a^-x 在R上單調(diào)遞減，可得x²+6x＞x-4，由此求得不等式的解集．
（3）由f（1）=

3

2

，求得得a=2，令t=2^x-2^-x，由f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)，x≥1，可得t≥f（1）=

3

2

，令g（x）=h（t）=t²-2mt+2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得h（t）的最小值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）的定義域為R，關(guān)于原點對稱，
且f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），a＞0且a≠1），故f（x）為奇函數(shù)．
（2）0＜a＜1，解不等式f（x²+6x）+f（4-x）＜0，即 f（x²+6x）＜f（x-4）
又f（x）=a^x-a^-x 在R上單調(diào)遞減，∴x²+6x＞x-4，解得 x＜-4，或x＞-1，
故不等式的解集為{x|x＜-4，或x＞-1}．
（3）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，解得a=2，或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=2^x-2^-x，則g（x）=t²-2mt+2，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x為增函數(shù)．
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²�。╰≥

3

2

），
若m≥

3

2

，當(dāng)t=m時，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2；
若m＜

3

2

，當(dāng)t=

3

2

時，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，解得m=

25

12

＞

3

2

，（舍去）
綜上可知m=2．

點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值，屬于中檔題．