Question

11．已知函數(shù)f（x）=|tx-2|-|tx+1|，a∈R．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，解不等式f（x）≤1；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，f（x）的最大值恒為m，求證：對(duì)任意正數(shù)a，b，c，當(dāng)a+b+c=m時(shí)，$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}$≤m．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的分段函數(shù)的形式，求出f（x）的最大值，求出不等式的解集即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出m的值，結(jié)合不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）t=1時(shí)，f（x）=|x-2|-|x+1|，
$f（x）=\left\{\begin{array}{l}3，x＜-1\\-2x+1，1≤x＜2\\-3\end{array}\right.$，
所以f（x）≤1，
故不等式的解集為[0，+∞）
（2）由絕對(duì)值不等式得||tx-2|-|tx+1|≤|（tx-2）-（tx+1）||=3，
所以f（x）最大值為3，故m=3，
故$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$≤$\sqrt{1•a}$+$\sqrt{1•b}$+$\sqrt{1•c}$
≤$\frac{1+a}{2}$+$\frac{1+b}{2}$+$\frac{1+c}{2}$=$\frac{3+a+b+c}{2}$=3，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立，
故原結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．