【題目】法國數(shù)學家布豐提出一種計算圓周率的方法——隨機投針法，受其啟發(fā)，我們設計如下實驗來估計的值：先請200名同學每人隨機寫下一個橫、縱坐標都小于1的正實數(shù)對；再統(tǒng)計兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對的個數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)來估計的值.已知某同學一次試驗統(tǒng)計出，則其試驗估計為______.

【答案】3.12

【解析】

橫、縱坐標都小于1的正實數(shù)對構(gòu)成第一象限內(nèi)的一個正方形, 兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對為單位圓在第一象限的部分.由幾何概型概率的計算公式,及試驗所得結(jié)果,即可估計的值.

橫、縱坐標都小于1的正實數(shù)對構(gòu)成第一象限內(nèi)的一個正方形,

兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對為單位圓在第一象限的部分.其關系如下圖所示:

則陰影部分與正方形面積的比值為

由幾何概型概率計算公式可知

解得

故答案為:

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【題目】在直角坐標系xOy中，動點P與定點的距離和它到定直線的距離之比是，設動點P的軌跡為E．

（1）求動點P的軌跡E的方程；

（2）設過F的直線交軌跡E的弦為AB，過原點的直線交軌跡E的弦為CD，若，求證：為定值．

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【題目】如圖，D是AC的中點，四邊形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．

若點M是線段BF的中點，證明：平面AMC；

求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．

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【題目】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點.

(1)設P是上的一點，且AP⊥BE，求∠CBP的大�。�

(2)當AB＝3，AD＝2時，求二面角E－AG－C的大小.

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【題目】已知橢圓的上、下焦點分別為，，離心率為，點 在橢圓C上，延長交橢圓于N點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）P，Q為橢圓上的點，記線段MN，PQ的中點分別為A，B（A，B異于原點O），且直線AB過原點O，求面積的最大值．

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【題目】已知某款冰淇淋的包裝盒為圓臺，盒蓋為直徑為的圓形紙片，每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一個，假定每個冰淇淋球都是半徑為的球體，三個冰淇淋球兩兩相切，且都與冰淇淋盒蓋、盒底和盒子側(cè)面的曲面相切，則冰淇淋盒的體積為______．

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【題目】如圖，在底面邊長為，側(cè)棱長為的正四棱柱中，是側(cè)棱上的一點，.

（1）若，求異面直線與所成角的余弦；

（2）是否存在實數(shù)，使直線與平面所成角的正弦值是？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.

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【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當函數(shù)有兩個極值點時，求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】用平面截圓柱面，當圓柱的軸與所成角為銳角時，圓柱面的截面是一個橢圓，著名數(shù)學家創(chuàng)立的雙球?qū)嶒炞C明了上述結(jié)論.如圖所示，將兩個大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切.給出下列三個結(jié)論：

①兩個球與的切點是所得橢圓的兩個焦點；

②若球心距，球的半徑為，則所得橢圓的焦距為2；

③當圓柱的軸與所成的角由小變大時，所得橢圓的離心率也由小變大.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）

A.①B.②③C.①②D.①②③

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