【題目】已知正實數(shù)ab,c滿足a3+b3+c31

(Ⅰ)證明:a+b+ca2+b2+c22;

(Ⅱ)證明:a2b+b2c+c2a≤1

【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)見解析

【解析】

(Ⅰ)利用柯西不等式直接證明即可;

(Ⅱ)先利用立方和公式及基本不等式可得a3+b3a2b+ab2,b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2,進而得2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2,再由a3≥2a2bab2,b3≥2b2cbc2c3≥2c2aca2,進而得

a3+b3+c3≥2(a2b+b2c+c2a)﹣ab2bc2ca2,進而得到3(a3+b3+c3)≥3(a2b+b2c+c2a),由此得證.

證明:(Ⅰ)∵a3+b3+c31,

a+b+c=(a+b+c)(a3+b3+c3)(a2+b2+c2)2,即得證.

(Ⅱ)a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)(a+b)(2abab)=a2b+ab2

同理b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2

全部加起來得2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2,①

a2+b2≥2ab,故a3+ab2≥2a2b,則a3≥2a2bab2,

同理b3≥2b2cbc2,c3≥2c2aca2

全部加起來得a3+b3+c3≥2(a2b+b2c+c2a)﹣ab2bc2ca2,②

由①②得3(a3+b3+c3)≥3(a2b+b2c+c2a),

a2b+b2c+c2aa3+b3+c31,即得證.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知定點S( -2,0) ,T(20),動點P為平面上一個動點,且直線SP、TP的斜率之積為.

1)求動點P的軌跡E的方程;

2)設點B為軌跡Ey軸正半軸的交點,是否存在直線l,使得l交軌跡EM,N兩點,且F(1,0)恰是△BMN的垂心?若存在,求l的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】紅鈴蟲(Pectinophora gossypiella)是棉花的主要害蟲之一,其產(chǎn)卵數(shù)與溫度有關.現(xiàn)收集到一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(個)和溫度x(℃)的8組觀測數(shù)據(jù),制成圖1所示的散點圖.現(xiàn)用兩種模型①,②分別進行擬合,由此得到相應的回歸方程并進行殘差分析,進一步得到圖2所示的殘差圖.

根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),計算得到如下值:

25

2.89

646

168

422688

48.48

70308

表中;;;

1)根據(jù)殘差圖,比較模型①、②的擬合效果,應選擇哪個模型?并說明理由;

2)根據(jù)(1)中所選擇的模型,求出y關于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),并求溫度為34℃時,產(chǎn)卵數(shù)y的預報值.

(參考數(shù)據(jù):,,

附:對于一組數(shù)據(jù),,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為,.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】平面直角坐標系xOy中,拋物線E頂點在坐標原點,焦點為.以坐標原點為極點,x軸非負半軸為極軸建立極坐標系.

(Ⅰ)求拋物線E的極坐標方程;

(Ⅱ)過點傾斜角為的直線lEMN兩點,若,求.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某班級共有50名同學(男女各占一半),為弘揚傳統(tǒng)文化,班委組織了“古詩詞男女對抗賽”,將同學隨機分成25組,每組男女同學各一名,每名同學均回答同樣的五個不同問題,答對一題得一分,答錯或不答得零分,總分5分為滿分.最后25組同學得分如下表:

組別號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

男同學得分

5

4

5

5

4

5

5

4

4

4

5

5

4

女同學得分

4

3

4

5

5

5

4

5

5

5

5

3

5

分差

1

1

1

0

-1

0

1

-1

-1

-1

0

2

-1

組別號

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

男同學得分

4

3

4

4

4

4

5

5

5

4

3

3

女同學得分

5

3

4

5

4

3

5

5

3

4

5

5

分差

-1

0

0

-1

0

1

0

0

2

0

-2

-2

I)完成列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“該次對抗賽是否得滿分”與“同學性別”有關;

(Ⅱ)某課題研究小組假設各組男女同學分差服從正態(tài)分布,首先根據(jù)前20組男女同學的分差確定,然后根據(jù)后面5組同學的分差來檢驗模型,檢驗方法是:記后面5組男女同學分差與的差的絕對值分別為,若出現(xiàn)下列兩種情況之一,則不接受該模型,否則接受該模型.①存在;②記滿足i的個數(shù)為k,在服從正態(tài)分布的總體(個體數(shù)無窮大)中任意取5個個體,其中落在區(qū)間內(nèi)的個體數(shù)大于或等于k的概率為P,.

試問該課題研究小組是否會接受該模型.

0.10

0.05

0.010

2.706

3.841

6.635

參考公式和數(shù)據(jù):

,;若,有,.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,,EF分別為AD,BC的中點.以EF為折痕把四邊形EFCD折起,使點C到達點M的位置,點D到達點N的位置,且

1)求證:平面NEB;

2)若,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】《中國制造2025》是經(jīng)國務院總理李克強簽批,由國務院于20155月印發(fā)的部署全面推進實施制造強國的戰(zhàn)略文件,是中國實施制造強國戰(zhàn)略第一個十年的行動綱領.制造業(yè)是國民經(jīng)濟的主體,是立國之本、興國之器、強國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先,堅持把質(zhì)量作為建設制造強國的生命線.某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結(jié)果,發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標準的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布Nμ,σ2),并把質(zhì)量差在(μσ,μ+σ)內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品,質(zhì)量差在(μ+σ,μ+2σ)內(nèi)的產(chǎn)品為一等品,其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理.優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品.現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件,測得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:

1)根據(jù)頻率分布直方圖,求樣本平均數(shù)

2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù),檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100,用樣本平均數(shù)作為μ的近似值,用樣本標準差s作為σ的估計值,求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)

[參考數(shù)據(jù):若隨機變量ξ服從正態(tài)分布Nμ,σ2),則:Pμσξμ+σ≈0.6827,Pμ2σξμ+2σ≈0.9545Pμ3σξμ+3σ≈0.9973

3)假如企業(yè)包裝時要求把3件優(yōu)等品球和5件一等品裝在同一個箱子中,質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進行檢驗,記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為X,求X的分布列以及期望值.

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【題目】在平面直角坐標系中,點滿足方程.

1)求點的軌跡的方程;

2)作曲線關于軸對稱的曲線,記為,在曲線上任取一點,過點作曲線的切線,若切線與曲線交于,兩點,過點,分別作曲線的切線,,證明:,的交點必在曲線.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】2019年,全國各地區(qū)堅持穩(wěn)中求進工作總基調(diào),經(jīng)濟運行總體平穩(wěn),發(fā)展水平邁上新臺階,發(fā)展質(zhì)量穩(wěn)步上升,人民生活福祉持續(xù)增進,全年最終消費支出對國內(nèi)生產(chǎn)總值增長的貢獻率為57.8%.下圖為2019年居民消費價格月度漲跌幅度:(同比(本期數(shù)-去年同期數(shù))/去年同期數(shù),環(huán)比(本期數(shù)-上期數(shù))/上期數(shù)

下列結(jié)論中不正確的是(

A.2019年第三季度的居民消費價格一直都在增長

B.20187月份的居民消費價格比同年8月份要低一些

C.2019年全年居民消費價格比2018年漲了2.5%以上

D.20193月份的居民消費價格全年最低

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