Question

6．設函數(shù)f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx-c}$，a∈N^*是奇函數(shù)，且f（1）=1，f（-2）＞-$\frac{7}{5}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性如何？用單調(diào)性定義證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），對定義域內(nèi)x恒成立可求得c值，再利用條件列出關于a，b的關系結合a∈N^*，即可解決．
（2）利用單調(diào)性定義進行證明．

解答 解：（1）由題意，由f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx-c}$是奇函數(shù)，
得f（-x）=-f（x）對定義域內(nèi)x恒成立，則
可得-bx+c=-（bx+c）對定義域內(nèi)x恒成立，即c=0．
由f（1）=1得a=b-1，
由f（-2）＞-$\frac{7}{5}$得$\frac{4a+1}{-2b}$＞-$\frac{7}{5}$，∴0＜b＜$\frac{5}{2}$，
又a∈N^*，得b=2，a=1．
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$；
（2）f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．以下用定義證明．
設1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{2}$[x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）]
=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
因為1＜x₁＜x₂，x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應用和函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．運用函數(shù)的定義判斷證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：（1）取值；（2）作差變形；（3）定號；（4）下結論．