Question

已知兩個非零向量

m

=（

3

sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，cosωx），ω＞0．
（Ⅰ）當ω=2，x∈（0，π）時，向量

m

與

n

共線，求x的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=

m

•

n

的圖象與直線y=

1

2

的任意兩個相交鄰點間的距離都是

π

2

，當f（

α

2

+

π

24

）=

1

2

+

2

6

，α∈（0，π）時，求cos2α的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平行向量與共線向量,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）把ω=2代入由向量

m

與

n

共線可得x的等式，可得答案；（Ⅱ）由題意結(jié)合三角函數(shù)的化簡可得f（x）sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，可得周期，進而可得ω=1，代入條件化簡可得sinα+cosα=

1

3

，平方可得sin2α=-

8

9

，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cos2α

解答： 解：（Ⅰ）當ω=2時，

m

=（

3

sin2x，cos2x），

n

=（cos2x，cos2x），
∵向量

m

與

n

共線，∴

3

sin2xcos2x-cos²2x=0，
可得cos2x=0，或tan2x=

sin2x

cos2x

=

3

3

，
∵x∈（0，π），∴x=

π

4

，或x=

π

12

，或x=

7π

12

；
（Ⅱ）f（x）=

m

•

n

=

3

sinωxcosωx+cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=

1

2

的任意兩個相交鄰點間的距離都是

π

2

，
∴函數(shù)f（x）的周期為π，∴ω=1
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，
∵f（

α

2

+

π

24

）=sin（α+

π

4

）+

1

2

=

1

2

+

2

6

，
∴sin（α+

π

4

）=

2

2

（sinα+cosα）=

2

6

，
∴sinα+cosα=

1

3

，平方可得1+sin2α=

1

9

，
解得sin2α=-

8

9

，
cos2α=±

1-sin22α

=±

17

9

．

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及向量共線和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．