Question

3．（1）已知a，b分別是方程2^x+x-5=0和log₂x+x-5=0的解，求a+b的值；
（2）已知a，b分別是方程2x+2^x=5和2x+log₂（x-1）=5的解，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）方程2^x+x-5=0和log₂x+x-5=0的解，分別是y=5-x的圖象與函數(shù)y=2^x，y=log₂x圖象的交點，根據(jù)反函數(shù)的圖象的對稱性，可得a+b的值；
（2）程2x+2^x=5和2x+log₂（x-1）=5可化為${2^{x-1}}=\frac{3}{2}-（x-1）$，${log_2}（x-1）=\frac{3}{2}-（x-1）$，利用換元法，結合（1）中結論，可得a+b的值；

解答 解：（1）方程2^x+x-5=0的解，即為函數(shù)y=2^x與y=5-x的圖象的交點，
方程log₂x+x-5=0的解，即為函數(shù)y=log₂x與y=5-x的圖象的交點，
由y=2^x與y=log₂x互為反函數(shù)，
其圖象關于直線y=x對稱，
故a+b=5…（6分）
（2）方程2x+2^x=5和2x+log₂（x-1）=5可化為${2^{x-1}}=\frac{3}{2}-（x-1）$，${log_2}（x-1）=\frac{3}{2}-（x-1）$，
令t=x-1，則${2}^{t}=\frac{3}{2}-t$，$lo{g}_{2}t=\frac{3}{2}-t$，
由（1）得：方程${2}^{t}=\frac{3}{2}-t$，$lo{g}_{2}t=\frac{3}{2}-t$的兩根m，n滿足m+n=$\frac{3}{2}$
∴$（a-1）+（b-1）=\frac{3}{2}$$?a+b=\frac{7}{2}$…（13分）

點評 本題考查的知識點是反函數(shù)，正確理解并熟練掌握互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象的對稱性，是解答的關鍵．