Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx（a＞0），e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)A（2，f（2））的切線斜率為2，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在區(qū)間（1，e）上＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解答：（I）函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=，
∵過(guò)點(diǎn)A（2，f（2））的切線斜率為2，
∴f′（2）==2，解得a=4．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）；
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=a（-）．
令g′（x）＞0，即a（-）＞0，解得x＞1，
∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
∴g（x）最小值為g（1）=0，
故f（x）≥a（1﹣）成立．
（Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，則h′（x）=﹣1，
令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分）
當(dāng)a＞e時(shí)，h（x）在（1，e）是增函數(shù)，所以h（x）＞h（1）=0．
當(dāng)1＜a≤e時(shí)，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減，
∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．
當(dāng)a≤1時(shí)，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0，
∵h(yuǎn)（e）=a+1﹣e＜0不合題意．
綜上，a≥e﹣1
【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可；
（Ⅲ）利用參數(shù)分離法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用即可得到結(jié)論。