【題目】已知函數(shù)f(x)=2ex﹣ax﹣2(x∈R,a∈R).
(1)當(dāng)a=1時,求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)當(dāng)x≥0時,若不等式f(x)≥0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=1時,f(x)=2ex﹣x﹣2,f′(x)=2ex﹣1,f′(1)=2e﹣1,
即曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率k=2e﹣1,又f(1)=2e﹣3,
故所求的切線方程是y=(2e﹣1)x﹣2
(2)解:當(dāng)x≥0時,若不等式f(x)≥0恒成立[f(x)]min≥0.
易知f′(x)=2ex﹣a.
①若a≤0,則f′(x)>0恒成立,f(x)在R上單調(diào)遞增;
又f(0)=0,∴當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)≥f(0)=0,符合題意.
②若 a>0,由f′(x)=0,解得x=ln .
則當(dāng) 時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng) 時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
∴x= 時,函數(shù)f(x)取得最小值.
當(dāng) ,即0<a≤2時,當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)≥f(0)=0,符合題意.
當(dāng) ,即a>2時,當(dāng) 時,f(x)單調(diào)遞增,f(x)<f(0)=0,不符合題意.
綜上,實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,2]
【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率,再利用點斜式即可得出切線方程.(2)當(dāng)x≥0時,若不等式f(x)≥0恒成立[f(x)]min≥0.f′(x)=2ex﹣a.對a分類討論:若a≤0,利用單調(diào)性即可得出是否滿足條件.②若 a>0,由f′(x)=0,解得x=ln .即可得出單調(diào)性,對 分類討論即可得出.
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點,需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx(a>0),e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若過點A(2,f(2))的切線斜率為2,求實數(shù)a的值;
(Ⅱ)當(dāng)x>0時,求證:f(x)≥a(1﹣);
(Ⅲ)在區(qū)間(1,e)上>1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f′(x),x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2 , 在(0,+∞)上f′(x)<x,若f(4﹣m)﹣f(m)≥8﹣4m.則實數(shù)m的取值范圍為( )
A.[﹣2,2]
B.[2,+∞)
C.[0,+∞)
D.(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足cos2A﹣cos2B=2cos( ﹣A)cos( +A).
(1)求角B的值;
(2)若b= 且b≤a,求2a﹣c的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標(biāo)軸上,漸近線方程為y=±x,且雙曲線過點P(4,-).
(1)求雙曲線的方程;
(2)若點M(x1,y1)在雙曲線上,求的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣ax2+3x+b(a,b∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=2,b=0時,求f(x)在[0,3]上的值域.
(Ⅱ)對任意的b,函數(shù)g(x)=|f(x)|﹣ 的零點不超過4個,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊中, , 分別為, 邊的中點, 為的中點, 為邊上一點,且,將沿折到的位置,使平面平面.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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