Question

【題目】已知點F為橢圓 的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成一個等邊三角形，直線 與橢圓E有且僅有一個交點M． （Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線 與y軸交于P，過點P的直線與橢圓E交于兩不同點A，B，若λ|PM|2=|PA||PB|，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，得 ，則橢圓E為： ， 聯(lián)立 ，得x2﹣2x+4﹣3c2=0，
∵直線 與橢圓E有且僅有一個交點M，
∴△=4﹣4（4﹣3c2）=0，得c2=1，
∴橢圓E的方程為 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，
∵直線 與y軸交于P（0，2），∴ ，
當(dāng)直線l與x軸垂直時， ，
由λ|PM|2=|PA||PB|，得 ，
當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
聯(lián)立 ，得（3+4k2）x2+16kx+4=0，
依題意得， ，且△=48（4k2﹣1）＞0，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
綜上所述，λ的取值范圍是 ．

【解析】（Ⅰ）由題意可得a，b與c的關(guān)系，化橢圓方程為 ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由判別式為0求得c，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得M坐標(biāo)，得到|PM|2 ， 當(dāng)直線l與x軸垂直時，直接由λ|PM|2=|PA||PB|求得λ值；當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用判別式大于0求得k的取值范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合λ|PM|2=|PA||PB|，把λ用含有k的表達(dá)式表示，則實數(shù)λ的取值范圍可求．