Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-x}-2（x≤0）}\\{2ax-1（x＞0）}\end{array}\right.$（a是常數(shù)，且a＞0）．對于下列命題：①函數(shù)f（x）的最小值是-1；②函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)；③若f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則a的取值范圍是a＞1；④對任意x₁＜0，x₂＜0且x₁≠x₂，恒有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$．其中正確命題的序號是（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①由圖只需說明在點x=0處函數(shù)f（x）的最小值是-1；
②只需說明函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性即可；
③只需說明f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最小值，從而求得a的取值范圍是a＞1；
④已知函數(shù)在（-∝，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應(yīng)在圖象的上方，故D正確．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{-x}-2（x≤0）}\\{2ax-1（x＞0）}\end{array}\right.$（a是常數(shù)，且a＞0）的圖象如下圖所示：

①由圖可得：當x=0時，函數(shù)f（x）的最小值是-1；故正確；
②由圖象說明函函數(shù)f（x）在R上不是單調(diào)函數(shù)；故錯；
③若f（x）＞0在[$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，則f（$\frac{1}{2}$）=a-1＞0，求得a的取值范圍是a＞1；故正確；
④已知函數(shù)函數(shù)在（-∞，0）上的圖象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取兩點連線應(yīng)在圖象的上方，
即f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故錯誤．
故正確命題的序號是：①③．
故選：B

點評 利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值是常用的方法，解答本題的關(guān)鍵是圖象法．