Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過點（1，$\frac{1}{2}$）作圓x²+y²=1的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓C的右焦點和上頂點
（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率；
（Ⅱ）點P為橢圓C上任意一點，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：c=1，k_OQ=$\frac{1}{2}$，則k_AB=-2，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)與直線AB的平行的直線方程為y=-2x+t，代入橢圓方程，由△=0得t=±2$\sqrt{6}$，故當(dāng)t=-2$\sqrt{6}$時，求出點P到直線AB的最大距離，即可求△PAB面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，Q（1，$\frac{1}{2}$），可知：c=1，k_OQ=$\frac{1}{2}$，則k_AB=-2，…（3分）
所以直線AB的方程是y=-2（x-1），即y=-2x+2，即b=2．…（5分）
所以a²=b²+c²=5，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$------（7分）
（Ⅱ）設(shè)與直線AB的平行的直線方程為y=-2x+t，
代入橢圓方程得24x²-20tx+5t²-20=0，
由△=0得t=±2$\sqrt{6}$，
故當(dāng)t=-2$\sqrt{6}$時，點P到直線AB的最大距離為d=$\frac{2（\sqrt{6}+1）}{\sqrt{5}}$，
又因為A（1，0），B（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），所以|AB|=$\frac{2}{\sqrt{5}}$
故△PAB積的最大值$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{\sqrt{5}}$×$\frac{2（\sqrt{6}+1）}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（\sqrt{6}+1）}{5}$------（14分）

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì)，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．