Question

3．不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$的解集是（0，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中不等式可得x＞0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分當(dāng)0＜x＜1時，當(dāng)x=1時和當(dāng)x＞1時三種情況，求解滿足條件的x值，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：若使不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$=x^-1有意義，x＞0，
當(dāng)0＜x＜1時，原不等式可化為：${log}_{\frac{1}{2}}x＞-1={log}_{\frac{1}{2}}2$，解得：x＜2，
∴0＜x＜1；
當(dāng)x=1時，x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$=$\frac{1}{x}$不滿足已知中的不等式，
當(dāng)x＞1時，原不等式可化為：${log}_{\frac{1}{2}}x＜-1={log}_{\frac{1}{2}}2$，解得：x＞2，
∴x＞2；
綜上所述，不等式x${\;}^{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}$＜$\frac{1}{x}$的解集是（0，1）∪（2，+∞），
故答案為：（0，1）∪（2，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想，難度中檔．