Question

【題目】已知雙曲線C過點A（﹣ ，1），且與x2﹣3y2=1有相同的漸近線．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）過雙曲線C的一個焦點作傾斜角為45°的直線l與雙曲線交于A，B兩點，求|AB|．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設雙曲線C的方程為x2﹣3y2=λ，點A（﹣ ，1），代入可得λ=15﹣3=12，

∴x2﹣3y2=12，

∴雙曲線C的標準方程為 =1

（2）解：由雙曲線方程 =1可得a=2 ，b=2，

又由c2=a2+b2，得c=4，F(xiàn)2（4，0）

過雙曲線C的一個焦點作傾斜角為45°的直線l方程為y=x﹣4，

代入x2﹣3y2=12得x2﹣12x+30=0，∴x=6±

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則|AB|= |x1﹣x2|=4

【解析】（1）由題意，設雙曲線C的方程為x2﹣3y2=λ，點A（﹣ ，1），代入可得λ，即可求雙曲線C的標準方程；（2）過雙曲線C的一個焦點作傾斜角為45°的直線l方程為y=x﹣4，代入x2﹣3y2=12得x2﹣12x+30=0，利用弦長公式，求|AB|．