Question

14．設數(shù)列{a_n}滿足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}，n∈{N^*}$
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{{1+{a_n}}}+\frac{1}{{1-{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．求證：T_n＞2n-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關系即可得出；
（II）變形可得：b_n=$2-（\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$）$＞2-（\frac{1}{2^n}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$）． 利用“裂項求和”及其“放縮法”即可得出．

解答 （I）解：當n=1時，${a_1}=\frac{1}{2}$．
當n≥2時，a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=$\frac{n}{2}，n∈{N^*}$
${a_1}+2{a_2}+{2^2}{a_3}+…+{2^{n-2}}{a_{n-1}}=\frac{n-1}{2}$，
相減得${2^{n-1}}{a_n}=\frac{n}{2}-\frac{n-1}{2}=\frac{1}{2}$
∴當n≥2時，${a_n}=\frac{1}{2^n}$．
當n=1時，${a_1}=\frac{1}{2}$也滿足上式，
所求通項公式${a_n}=\frac{1}{2^n}$．
（Ⅱ）證明：${b_n}=\frac{1}{{1+{{（\frac{1}{2}）}^n}}}+\frac{1}{{1-{{（\frac{1}{2}）}^{n+1}}}}=\frac{2^n}{{{2^n}+1}}+\frac{{{2^{n+1}}}}{{{2^{n+1}}-1}}$
=$\frac{{{2^n}+1-1}}{{{2^n}+1}}$+$\frac{{{2^{n+1}}-1+1}}{{{2^{n+1}}-1}}$=$1-\frac{1}{{{2^n}+1}}$+1+$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$=$2-（\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$）． 
由$\frac{1}{{{2^n}+1}}＜\frac{1}{2^n}$，$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}＞\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
得$\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$$＜\frac{1}{2^n}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$．
∴b_n=$2-（\frac{1}{{{2^n}+1}}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}-1}}$）$＞2-（\frac{1}{2^n}-$$\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$）．  
從而${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}＞[2-（\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}）]+[2-（\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}）]+…+[2-（\frac{1}{2^n}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）]$=$2n-[（\frac{1}{2}-\frac{1}{2^2}）+（\frac{1}{2^2}-\frac{1}{2^3}）]+…+（\frac{1}{2^n}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）]$=$2n-（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^{n+1}}}}）＞2n-\frac{1}{2}$，
即T_n＞$2n-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了遞推關系、“裂項求和”及其“放縮法”、不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．