Question

設(shè)a、b、c∈R₊，滿足a+b+c=abc，證明：

1

2 1+a2

+

1

3 1+b2

+

1

4 1+c2

≤

29

48

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,平均值不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于a、b、c∈R₊，滿足a+b+c=abc，可設(shè)a=tanA，b=tanB，c=tanC，且A+B+C=π，（0＜A，B，C＜

π

2

），代入原不等式的左邊化簡(jiǎn)得

1

2

cosA+

1

3

cosB+

1

4

cosC，則原不等式即為

1

2

cosA+

1

3

cosB+

1

4

cosC≤

29

48

．由于29-24cosA-16cosB-12cosC=4+9+16-24cosA-16cosB+12cos（A+B），運(yùn)用同角的平方關(guān)系，以及結(jié)合兩數(shù)和三個(gè)數(shù)的平方公式，即可得到（3cosA+2cosB-4）²+（3sinA-2sinB）²≥0，即可得證．

解答： 證明：由于a、b、c∈R₊，滿足a+b+c=abc，
可設(shè)a=tanA，b=tanB，c=tanC，且A+B+C=π，（0＜A，B，C＜

π

2

），
由于tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

，
則有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．
則

1

2 1+a2

+

1

3 1+b2

+

1

4 1+c2

=

1

2 1+tan2A

+

1

3 1+tan2B

+

1

4 1+tan2C

=

1

2

cosA+

1

3

cosB+

1

4

cosC，
則原不等式即為

1

2

cosA+

1

3

cosB+

1

4

cosC≤

29

48

．
即有：24cosA+16cosB+12cosC≤29．
由于29-24cosA-16cosB-12cosC=4+9+16-24cosA-16cosB+12cos（A+B）
=（4sin²B+4cos²B）+（9sin²A+9cos²A）+16+2×2×3cosAcosB-2×2×3sinAsinB
-2×3×4cosA-2×2×4cosB
=（3cosA+2cosB-4）²+（3sinA-2sinB）²≥0，
則24cosA+16cosB+12cosC≤29．
故

1

2 1+a2

+

1

3 1+b2

+

1

4 1+c2

≤

29

48

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查運(yùn)用三角換元的方法，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換和配方，證明不等式的方法，具有一定的技巧，屬于難題．