Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）=f（x）+g（x），G（x）=f（x）-g（x）．若對(duì)任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），不等式[f（x₁）-f（x₂）]²＞[g（x₁）-g（x₂）]²恒成立．則（　　）

• A． F（x），G（x）都是增函數(shù)
• B． F（x），G（x）都是減函數(shù)
• C． F（x）是增函數(shù)，G（x）是減函數(shù)
• D． F（x）是減函數(shù)，G（x）是增函數(shù)

Answer 1

分析 根據(jù)題意，不妨設(shè)x₁＞x₂，f（x）單調(diào)遞增，可得出f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂），且f（x₁）-f（x₂）＞-g（x₁）+g（x₂），
根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答 解：對(duì)任意x₁，x₂∈R（x₁≠x₂），不等式[f（x₁）-f（x₂）]²＞[g（x₁）-g（x₂）]²恒成立，
不妨設(shè)x₁＞x₂，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x₁）-f（x₂）＞g（x₁）-g（x₂），且f（x₁）-f（x₂）＞-g（x₁）+g（x₂），
∴F（x₁）=f（x₁）+g（x₁），F(xiàn)（x₂）=f（x₂）+g（x₂），
∴F（x₁）-F（x₂）=f（x₁）+g（x₁）-f（x₂）-g（x₂）
=f（x₁）-f（x₂）-（g（x₂）-g（x₁）＞0，
∴F（x）為增函數(shù)；同理可證G（x）為增函數(shù)，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查了對(duì)絕對(duì)值不等式的理解和利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性．