Question

【題目】已知橢圓與拋物線共焦點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)M到y軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點(diǎn)Q滿足．

（I）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（II）過(guò)拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、 兩點(diǎn)，求此切線在x軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）． （II）．

【解析】試題分析：（I）根據(jù)拋物線上的點(diǎn)M到y軸的距離等于，可知點(diǎn)M到直線的距離等于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離，由此求得且.由拋物線的定義及可求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的定義求出，并由此求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（II）聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，利判別式等于零得到的一個(gè)等量關(guān)系.聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，利用判別式大于零求得的取值范圍.求出截距的表達(dá)式，利用得取值范圍可求得截距的取值范圍.

試題解析：

（I）∵拋物線上的點(diǎn)M到y軸的距離等于，

∴點(diǎn)M到直線的距離等于點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離，

得是拋物線的準(zhǔn)線，即，

解得，∴拋物線的方程為；

可知橢圓的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，

由拋物線的定義及，得，

又，解得，

由橢圓的定義得 ，

∴，又，得，

∴橢圓的方程為．

（II）顯然， ，

由，消去x，得，

由題意知，得，

由，消去y，得，

其中 ，

化簡(jiǎn)得，又，得，解得，

切線在x軸上的截距為，又，

∴切線在x軸上的截距的取值范圍是．