Question

在直角坐標系xOy中，已知P（x₀，y₀）是圓C：x²+（y-4）²=1外一點，過點P作圓C的切線，切點分別為A，B，記四邊形PACB的面積為f（P），當P（x₀，y₀）在圓D：（x+4）²+（y-1）²=9上運動時，f（P）的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：計算題,直線與圓

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，連接CD并延長，與圓D分別交于M、N，由圓C與圓D的方程得出圓心C、D的坐標，即各自的半徑r與R，利用兩點間的距離公式求出圓心距|CD|的長，當P在N處時，四邊形ACBP面積最小；當P在M處時，四邊形ACBP面積最大，分別求出即可得到f（P）的范圍．

解答： 解：由題意得到圓心C（0，4），半徑r=1；圓心D（-4，1），半徑R=3，
∴|CD|=5，
∴|CN|=5-2=3，|CM|=5+2=7，
當P位于圖形中的N位置時，四邊形ACBP面積最小，
過P作圓C的切線，切點分別為A、B，連接AC，BC，可得出|AC|=|BC|=1，且CA⊥AP，CB⊥BP，
在Rt△ACP中，根據(jù)勾股定理得：AP=

3

，
此時S_{四邊形ACBP}=2S_△ACP=AP•AC=

3

；
當P位于圖形中的M位置時，四邊形ACBP面積最大，
同理得到S_{四邊形ACBP}=3

7

，
綜上，f（P）的范圍為[

3

，3

7

]．
故答案為：[

3

，3

7

]．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，兩點間的距離公式，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學中重要的思想方法，做題時注意靈活運用．