Question

5．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦點為F，A（-a，0），B（0，b），C（0，-b）分別為其三個頂點．直線CF與AB交于點D，若橢圓的離心率$e=\frac{1}{2}$，則tan∠BDC=$-3\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓的離心率得到a，b，c之間的關(guān)系，利用這些關(guān)系表示出∠BAO、∠CFO的正切值，由圖得∠BDC=∠BAO+∠CFO，利用兩角和的正切求出tan∠BDC的值．

解答 解：由題意得離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，則設(shè)c=m，a=2m（m＞0），
由a²=b²+c²得，b²=a²-c²=3m²，解得b=$\sqrt{3}m$，
由圖可知，∠DFA=∠CFO，且∠BDC=∠BAO+∠DFA，
∴∠BDC=∠BAO+∠CFO，
又tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}=\frac{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tan∠CFO=$\frac{OC}{OF}=\frac{c}=\sqrt{3}$，
則tan∠BDC=tan（∠BAO+∠OFC）=$\frac{tan∠BAO+tan∠CFO}{1-tan∠BAOtan∠CFO}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}=-3\sqrt{3}$．
故答案為：$-3\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查兩角和與差的正切函數(shù)，訓(xùn)練了平面幾何在解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，是中檔題．