Question

15．在數(shù)列{a_n}中，a₁=20，a₂=30，a_n+1=3a_n-a_n-1（n∈N₊，n≥2）．
（1）當(dāng)n=2，3時，分別求出a${\;}_{n}^{2}$-a_n-1•a_n+1的值，并判斷a${\;}_{n}^{2}$-a_n-1?a_n+1（n∈N₊，n≥2）是否為定值；
（2）若5a_n+1•a_n+1為完全平均數(shù)，求滿足條件的所有正整數(shù)n的集合．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合數(shù)列遞推式分別取n=2，n=3求得a₃，a₄的值，構(gòu)造$_{n}={{a}_{n}}^{2}-{a}_{n-1}{a}_{n+1}$，作差說明b_n+1=b_n，結(jié)合$_{2}={{a}_{2}}^{2}-{a}_{1}{a}_{3}=-500$說明?n≥2，n∈N₊，${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1•a_n+1恒為定值；
（2）由（1）知，-500=${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1•a_n+1=${{a}_{n}}^{2}-（3{a}_{n}-{a}_{n+1}）{a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}-3{a}_{n}{a}_{n+1}$$+{{a}_{n+1}}^{2}$，兩邊同加501+5a_n•a_n+1得，$5{a}_{n+1}{a}_{n}+1=（{a}_{n}+{a}_{n+1}）^{2}+501$．構(gòu)造數(shù)列
c_n=5a_n+1a_n，要使c_n為完全平均數(shù)，則?m∈Z，滿足${c_n}={m^2}$，記d_n=a_n+a_n+1，可得$501={m^2}-d_n^2=（m+{d_n}）（m-{d_n}）$，結(jié)合501=3×167=1×501，得到關(guān)于m與d_n的方程組，求解方程組得到m與d_n的值，再結(jié)合{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列得答案．

解答 解：（1）當(dāng)n=2時，a₃=3a₂-a₁=70，
當(dāng)n=3時，a₄=3a₃-a₂=180，…
構(gòu)造$_{n}={{a}_{n}}^{2}-{a}_{n-1}{a}_{n+1}$，
$_{n+1}-_{n}={{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n}{a}_{n+2}-{{a}_{n}}^{2}$$+{a}_{n-1}{a}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}-{a}_{n}（3{a}_{n+1}-{a}_{n}）$$-{{a}_{n}}^{2}+（3{a}_{n}-{a}_{n+1}）{a}_{n+1}$=0．
又$_{2}={{a}_{2}}^{2}-{a}_{1}{a}_{3}=-500$，
∴?n≥2，n∈N₊，b_n=-500．
即?n≥2，n∈N₊，${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1•a_n+1恒為定值；
（2）由（1）知，-500=${{a}_{n}}^{2}$-a_n-1•a_n+1=${{a}_{n}}^{2}-（3{a}_{n}-{a}_{n+1}）{a}_{n+1}={{a}_{n}}^{2}-3{a}_{n}{a}_{n+1}$$+{{a}_{n+1}}^{2}$，
兩邊同加501+5a_n•a_n+1得，$5{a}_{n+1}{a}_{n}+1=（{a}_{n}+{a}_{n+1}）^{2}+501$．
不妨令c_n=5a_n+1a_n，要使c_n為完全平均數(shù)，則?m∈Z，滿足${c_n}={m^2}$，
記d_n=a_n+a_n+1，則$501={m^2}-d_n^2=（m+{d_n}）（m-{d_n}）$，
又501=3×167=1×501，
則有$\left\{\begin{array}{l}{m-tqj4yv5_{n}=1}\\{m+wly9kgi_{n}=501}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m-rusvju5_{n}=3}\\{m+n0wfg5n_{n}=167}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=251}\\{o0rilzs_{n}=250}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=85}\\{5ehlbe0_{n}=82}\end{array}\right.$．
即${c}_{n}=25{1}^{2}$或${c}_{n}=8{5}^{2}$，又?jǐn)?shù)列{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，可求：
${c}_{1}=3001＜8{5}^{2}，{c}_{2}=10501＞8{5}^{2}$，${c}_{3}=63001=25{1}^{2}$．
故滿足條件的n的集合為{3}．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查邏輯思維能力和推理論證能力，題目（2）的設(shè)置，靈活性強(qiáng)，難度較大．