Question

【題目】某學(xué)校高二年級(jí)舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽，計(jì)分規(guī)則如下表：

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)
得分	16	17	18	19	20

年級(jí)組為了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)作為一個(gè)樣本，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生跳繩個(gè)數(shù)中，任意抽取2人的跳繩個(gè)數(shù)，求兩人得分之和小于35分的概率；（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）

（2）若該校高二年級(jí)共有2000名學(xué)生，所有學(xué)生的一分鐘跳繩個(gè)數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表）.利用所得的正態(tài)分布模型，解決以下問(wèn)題：

（i）估計(jì)每分鐘跳繩164個(gè)以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

（ii）若在全年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，每分鐘跳繩在179個(gè)以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）1683；（ii）.

【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖得到16分，17分，18分的人數(shù)，再根據(jù)古典概率的計(jì)算公式求解．

（2）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差的公式進(jìn)行求解．

（1）設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事件，則事件包括以下四種情況：

①兩人得分均為16分；②兩人中一人16分，一人17分；

③兩人中一人16分，一人18分；④兩人均17分.

由頻率分布直方圖可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，

則由古典概型的概率計(jì)算公式可得.

所以兩人得分之和小于35的概率為.

（2）由頻率分布直方圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：

（個(gè)）.

又由，得標(biāo)準(zhǔn)差，

所以高二年級(jí)全體學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)近似服從正態(tài)分布.

（i）因?yàn)?/span>，所以，

故高二年級(jí)一分鐘跳繩個(gè)數(shù)超過(guò)164個(gè)的人數(shù)估計(jì)為

（人）.

（ii）由正態(tài)分布可得，全年級(jí)任取一人，其每分鐘跳繩個(gè)數(shù)在179以上的概率為，

所以，的所有可能的取值為0，1，2，3.

所以，

，

，

，

故的分布列為：

	0	1	2	3

所以，.