【題目】如圖，三棱錐中，點分別是的中點，點是的重心.

（1）證明：平面；

（2）若平面平面，，，，，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）延長交于點，點為的中點，則有，可證平面，平面，從而有平面平面，即可證明結(jié)論；

（2）由，得，再由平面平面，得平面，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，求出坐標，進而求出平面與平面的法向量坐標，即可求解.

（1）證明：延長交于點，點為的中點，

因為，分別是棱，的中點，

所以是的中位線，所以，

又平面，平面，

所以平面.

同理可證平面

又，平面，平面，

所以平面平面，

因為平面，所以平面

（2）連接，因為，

是的中點，所以，

又平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

以為坐標原點，以向量所在的方向分別作為軸、軸的正方向，

以與向量垂直的方向為軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標系

設(shè)，則，

，

，

設(shè)平面的一個法向量為，

則，即

令，得，于是取

又平面的一個法向量為，

則，即

令，得

于是取

設(shè)平面與平面的所成的銳二面角為

則

所以平面與平面的所成的銳二面角的余弦值為

練習冊系列答案
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每分鐘跳繩個數(shù)

得分

16

17

18

19

20

年級組為了解學生的體質(zhì)，隨機抽取了100名學生的跳繩個數(shù)作為一個樣本，繪制了如下樣本頻率分布直方圖.

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（2）若該校高二年級共有2000名學生，所有學生的一分鐘跳繩個數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點值作代表）.利用所得的正態(tài)分布模型，解決以下問題：

（i）估計每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；

（ii）若在全年級所有學生中隨機抽取3人，每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望與方差.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.

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（2）已知圓方程為，過圓上任意一點作圓的切線，切線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，設(shè)為的中點，求的取值范圍.

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