【題目】如圖,三棱錐中,點(diǎn)
分別是
的中點(diǎn),點(diǎn)
是
的重心.
(1)證明:平面
;
(2)若平面平面
,
,
,
,
,求平面
與平面
所成的銳二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)延長交
于點(diǎn)
,點(diǎn)
為
的中點(diǎn),則有
,可證
平面
,
平面
,從而有平面
平面
,即可證明結(jié)論;
(2)由,得
,再由平面
平面
,得
平面
,以
為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)
,求出
坐標(biāo),進(jìn)而求出平面
與平面
的法向量坐標(biāo),即可求解.
(1)證明:延長交
于點(diǎn)
,點(diǎn)
為
的中點(diǎn),
因?yàn)?/span>,
分別是棱
,
的中點(diǎn),
所以是
的中位線,所以
,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
同理可證平面
又,
平面
,
平面
,
所以平面平面
,
因?yàn)?/span>平面
,所以
平面
(2)連接,因?yàn)?/span>
,
是
的中點(diǎn),所以
,
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,所以
平面
.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),以向量
所在的方向分別作為
軸、
軸的正方向,
以與向量垂直的方向?yàn)?/span>
軸的正方向,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
設(shè),則
,
,
,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
,
則,即
令,得
,于是取
又平面的一個(gè)法向量為
,
則,即
令,得
于是取
設(shè)平面與平面
的所成的銳二面角為
則
所以平面與平面
的所成的銳二面角的余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心為
,左、右焦點(diǎn)分別為
、
,上頂點(diǎn)為
,右頂點(diǎn)為
,且
、
、
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓的離心率;
(2)判斷的形狀,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有7張卡片分別寫有數(shù)字從中任取4張,可排出不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高二年級(jí)舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽,計(jì)分規(guī)則如下表:
每分鐘跳繩個(gè)數(shù) | |||||
得分 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
年級(jí)組為了解學(xué)生的體質(zhì),隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)作為一個(gè)樣本,繪制了如下樣本頻率分布直方圖.
(1)現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生跳繩個(gè)數(shù)中,任意抽取2人的跳繩個(gè)數(shù),求兩人得分之和小于35分的概率;(用最簡分?jǐn)?shù)表示)
(2)若該校高二年級(jí)共有2000名學(xué)生,所有學(xué)生的一分鐘跳繩個(gè)數(shù)近似服從正態(tài)分布
,其中
,
為樣本平均數(shù)的估計(jì)值(同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表).利用所得的正態(tài)分布模型,解決以下問題:
(i)估計(jì)每分鐘跳繩164個(gè)以上的人數(shù)(結(jié)果四舍五入到整數(shù));
(ii)若在全年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,每分鐘跳繩在179個(gè)以上的人數(shù)為,求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差.
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布
,則
,
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓過點(diǎn)
,且離心率為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知圓方程為,過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線,切線與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)
為
的中點(diǎn),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線是由兩個(gè)定點(diǎn)
和點(diǎn)
的距離之積等于
的所有點(diǎn)組成的,對于曲線
,有下列四個(gè)結(jié)論:①曲線
是軸對稱圖形;②曲線
上所有的點(diǎn)都在單位圓
內(nèi);③曲線
是中心對稱圖形;④曲線
上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)
.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在多面體中,四邊形
是正方形,平面
平面
,
.
(1)求證:平面
;
(2)在線段上是否存在點(diǎn)
,使得平面
與平面
所成的銳二面角的大小為
,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由.
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