Question

在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x²-6x+5與坐標軸的交點都在圓C上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點，且|AB|=2，求a的值．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,圓的標準方程

專題：

分析：（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點，且|AB|=2，求a的值．

解答： 解：（1）由y=x²-6x+5=0得，x=1或x=5，即x軸上的交點坐標為（1，0），（5，0），
當x=0時，y=5，即y軸上的交點坐標為（0，5），
設圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0；
則

1+D+F=0 25+5D+F=0 25+5E+F=0

，
解得D=-6，E=-6，F(xiàn)=5，
即圓C的方程為x²+y²-6x-6y+5=0
（2）根據(jù)（1）的結論x²+y²-6x-6y+5=0轉化為標準式：（x-3）²+（y-3）²=13，
圓心C（3，3），半徑r=

13

，
若圓C與直線x-y+a=0交于A、B兩點，且|AB|=2，
則圓心到直線x-y+a=0的距離d=

( 13 )2-1

=

12

=2

3

，
即

|a|

2

=2

3

，則|a|=2

6

，
則a=±2

6

．

點評：本題考查圓的方程的求解，利用用待定系數(shù)法求圓的一般式，點與圓的位置關系的判定，最短弦與弦心距之間的關系及相關的運算問題．