Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

（n=1，2，3…），求首項(xiàng)a₁和通項(xiàng)a_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：當(dāng)n=1時，a₁=S₁=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2．當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，轉(zhuǎn)化為an=4an-1+2n，
化為an+2n=4(an-1+2n-1)，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

（n=1，2，3…），
∴當(dāng)n=1時，a₁=S₁=

4

3

a1-

1

3

×22+

2

3

，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=

4

3

a_n-

1

3

×2ⁿ⁺¹+

2

3

-(

4

3

an-1-

1

3

×2n+

2

3

)，化為an=4an-1+2n，
化為an+2n=4(an-1+2n-1)，
∴數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比q=4．
∴an+2n=4n，即an=4n-2n．

點(diǎn)評：本題考查了利用遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．