Question

2010年某電視生產(chǎn)廠家中標商務(wù)部家電下鄉(xiāng)活動，若廠家投放A、B型號電視機的價值分別為p萬元，q萬元，農(nóng)民購買電視機獲得的補貼分別為mlnp（m＞0）萬元，萬元，已知廠家把總價值為10萬元的A、B兩種型號電視機投放黃岡市場，且A、B兩種型號的電視機投放金額都不低于1萬元．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4≈1.4）
（1）當時，請你制訂一個投放方案，使得在這次活動中黃岡農(nóng)民得到的補貼最多，并求出其最大值．
（2）當m≥1時，農(nóng)民得到的補貼隨廠家投放A型號電視機金額的變化而怎樣變化？

Answer 1

解：設(shè)投放的A型號的電視機的價值為x萬元，則投放的B型號的電視機的價值為（10-x）萬元，且x≥1，10-x≥1，即1≤x≤9，根據(jù)題意農(nóng)民獲得補貼…（4分）
（1）當時，，由y'=0得x=4，
當x∈（1，4）時y'＞0，
當x∈（4，9）時y'＜0，故x=4是函數(shù)y的極大值點，又是唯一的極大值點，故也是y的最大值點，
此時（萬元）
即廠家分別投放A、B兩種型號電視機4萬元和6萬元時，農(nóng)民得到補貼最多，最多補貼約1.2萬元…（9分）
（2）由
當m≥1時，10m≥10，而1≤x≤9，∴此時y'＞0恒成立，∴y在[1，9]上是增函數(shù)
因此隨A型電視機投放金額x的增加，農(nóng)民得到的補貼逐漸增加．…（13分）
分析：（1）根據(jù)廠家投放A、B型號電視機的價值分別為p萬元，q萬元，農(nóng)民購買電視機獲得的補貼分別為mlnp（m＞0）萬元，萬元，可得農(nóng)民獲得補貼，將m=代入可得函數(shù)關(guān)系式．利用求導數(shù)的方法，并根據(jù)增減性判斷出y有最大值求出即可．
（2）求導函數(shù)，可以得出m≥1時，y'＞0恒成立，所以y在[1，9]上是增函數(shù)，故可得結(jié)論．
點評：本題以實際問題為素材，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學生分析解決問題的能力，同時考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，綜合性強．