Question

2010年某電視生產(chǎn)廠家中標(biāo)商務(wù)部家電下鄉(xiāng)活動(dòng)，若廠家投放A、B型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值分別為p萬元，q萬元，農(nóng)民購買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為mlnp（m＞0）萬元，

1

10

q萬元，已知廠家把總價(jià)值為10萬元的A、B兩種型號(hào)電視機(jī)投放黃岡市場，且A、B兩種型號(hào)的電視機(jī)投放金額都不低于1萬元．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4≈1.4）
（1）當(dāng)m=

2

5

時(shí)，請(qǐng)你制訂一個(gè)投放方案，使得在這次活動(dòng)中黃岡農(nóng)民得到的補(bǔ)貼最多，并求出其最大值．
（2）當(dāng)m≥1時(shí)，農(nóng)民得到的補(bǔ)貼隨廠家投放A型號(hào)電視機(jī)金額的變化而怎樣變化？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)廠家投放A、B型號(hào)電視機(jī)的價(jià)值分別為p萬元，q萬元，農(nóng)民購買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為mlnp（m＞0）萬元，

1

10

q萬元，可得農(nóng)民獲得補(bǔ)貼，將m=

2

5

代入可得函數(shù)關(guān)系式．利用求導(dǎo)數(shù)的方法，并根據(jù)增減性判斷出y有最大值求出即可．
（2）求導(dǎo)函數(shù)y′=

m

x

-

1

10

=

10m-x

10x

，可以得出m≥1時(shí)，y'＞0恒成立，所以y在[1，9]上是增函數(shù)，故可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)投放的A型號(hào)的電視機(jī)的價(jià)值為x萬元，則投放的B型號(hào)的電視機(jī)的價(jià)值為（10-x）萬元，且x≥1，10-x≥1，即1≤x≤9，根據(jù)題意農(nóng)民獲得補(bǔ)貼y=mlnx+

1

10

(10-x)=mlnx-

1

10

x+1…（4分）
（1）當(dāng)m=

2

5

時(shí)，y=

2

5

lnx-

1

10

x+1y′=

2

5x

-

1

10

=

4-x

10x

，由y'=0得x=4，
當(dāng)x∈（1，4）時(shí)y'＞0，
當(dāng)x∈（4，9）時(shí)y'＜0，故x=4是函數(shù)y的極大值點(diǎn)，又是唯一的極大值點(diǎn)，故也是y的最大值點(diǎn)，
此時(shí)ymax=

2

5

ln4-

4

10

+1≈1.2（萬元）
即廠家分別投放A、B兩種型號(hào)電視機(jī)4萬元和6萬元時(shí)，農(nóng)民得到補(bǔ)貼最多，最多補(bǔ)貼約1.2萬元…（9分）
（2）由y′=

m

x

-

1

10

=

10m-x

10x

當(dāng)m≥1時(shí)，10m≥10，而1≤x≤9，∴此時(shí)y'＞0恒成立，∴y在[1，9]上是增函數(shù)
因此隨A型電視機(jī)投放金額x的增加，農(nóng)民得到的補(bǔ)貼逐漸增加．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為素材，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生分析解決問題的能力，同時(shí)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，綜合性強(qiáng)．