Question

2010年某電視生產(chǎn)廠家中標商務(wù)部家電下鄉(xiāng)活動，若廠家投放A、B型號電視機的價值分別為p萬元，q萬元，農(nóng)民購買電視機獲得的補貼分別為mlnp（m＞0）萬元，

1

10

q萬元，已知廠家把總價值為10萬元的A、B兩種型號電視機投放黃岡市場，且A、B兩種型號的電視機投放金額都不低于1萬元．（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：ln4≈1.4）
（1）當(dāng)m=

2

5

時，請你制訂一個投放方案，使得在這次活動中黃岡農(nóng)民得到的補貼最多，并求出其最大值．
（2）當(dāng)m≥1時，農(nóng)民得到的補貼隨廠家投放A型號電視機金額的變化而怎樣變化？

Answer 1

設(shè)投放的A型號的電視機的價值為x萬元，則投放的B型號的電視機的價值為（10-x）萬元，且x≥1，10-x≥1，即1≤x≤9，根據(jù)題意農(nóng)民獲得補貼y=mlnx+

1

10

(10-x)=mlnx-

1

10

x+1…（4分）
（1）當(dāng)m=

2

5

時，y=

2

5

lnx-

1

10

x+1y′=

2

5x

-

1

10

=

4-x

10x

，由y'=0得x=4，
當(dāng)x∈（1，4）時y'＞0，
當(dāng)x∈（4，9）時y'＜0，故x=4是函數(shù)y的極大值點，又是唯一的極大值點，故也是y的最大值點，
此時ymax=

2

5

ln4-

4

10

+1≈1.2（萬元）
即廠家分別投放A、B兩種型號電視機4萬元和6萬元時，農(nóng)民得到補貼最多，最多補貼約1.2萬元…（9分）
（2）由y′=

m

x

-

1

10

=

10m-x

10x

當(dāng)m≥1時，10m≥10，而1≤x≤9，∴此時y'＞0恒成立，∴y在[1，9]上是增函數(shù)
因此隨A型電視機投放金額x的增加，農(nóng)民得到的補貼逐漸增加．…（13分）