Question

19．如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）求點C到平面BDF的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AC⊥平面FBC，可得所以AC⊥CF，利用AC∥DE，證明：AC⊥DE；
（2）由V_C-BDF=V_F-CBD，求點C到平面BDF的距離．

解答 （1）證明：在△ABC中，因為AC=$\sqrt{3}$，AB=2，BC=1，則AB²=AC²+BC²，
所以AC⊥BC，…（2分）
又因為AC⊥FB，且FB∩BC=B，所以AC⊥平面FBC．…（4分）
所以AC⊥CF，
又因為AC∥DE，
所以AC⊥DE…（6分）
（2）解：因為AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因為CD⊥FC，且CD∩AC=C，
所以FC⊥平面ABCD．…（7分）
則FC為四面體F-BCD的高，在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1，
所以FC=1，所以△BCD的面積為S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
所以四面體F-BCD的體積為V_F-BCD=$\frac{1}{3}$S•FC=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．…（9分）
又因為$DF=BF=\sqrt{2}，BD=AC=\sqrt{3}$，所以${S_{△BDF}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
由V_C-BDF=V_F-CBD，得點C到平面BDF的距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點評 本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)以及點到面的距離和三棱錐的體積計算公式．是對立體幾何知識的綜合考查．