Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{x-a}{lnx}$的圖象總在函數(shù)F（x）=$\sqrt{x}$的圖象上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）的圖象總在函數(shù)F（x）的圖象的上方等價(jià)于f（x）＞F（x）恒成立，即$\frac{x-a}{lnx}$＞$\sqrt{x}$在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．分類討論，利用分離參數(shù)法，即可求a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象總在函數(shù)F（x）的圖象的上方等價(jià)于f（x）＞F（x）恒成立，
即$\frac{x-a}{lnx}$＞$\sqrt{x}$在（0，1）∪（1，+∞）上恒成立．
①當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lnx＜0，則$\frac{x-a}{lnx}$＞$\sqrt{x}$等價(jià)于a＞x-$\sqrt{x}$lnx，
令g（x）=x-$\sqrt{x}$lnx，g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-2-lnx}{2\sqrt{x}}$，
再令h（x）=2$\sqrt{x}$-2-lnx，h′（x）=$\frac{\sqrt{x}-1}{x}$
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上遞減，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-2-lnx}{2\sqrt{x}}$＞0，
所以g（x）在（0，1）上遞增，g（x）＜g（1）=1，∴a≥1；
②當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＞0，則$\frac{x-a}{lnx}$＞$\sqrt{x}$等價(jià)于a＜x-$\sqrt{x}$lnx，等價(jià)于a＜g（x），
由①知，當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，h（x）＞h（1）=0，g′（x）=$\frac{2\sqrt{x}-2-lnx}{2\sqrt{x}}$＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上遞增，∴g（x）＞g（1）=1，
∴a≤1．
由①及②得：a=1，
故所求a的取值范圍是{1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．