Question

已知：函數f（x）是R上的單調函數，且f（3）=log₂3，對于任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）若f（x）滿足對任意實數x，f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

（1）證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即證f （ x ）是奇函數．
（2）因為 對任意實數x，f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函數f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2）恒成立 又R上的單調函數f （ x ）滿足f（3）=log₂3＞0
而f （0 ）=0 從而有：f （ x ）是R上的單調增函數
于是：k•3^x＜-3^x+9^x+2
∴恒成立，而
∴
分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）即證
（2）由f（k•3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0恒成立，且f （ x ）是奇函數，則f（k•3^x）＜f（-3^x+9^x+2）恒成立，f （ x ）是R上的單調函數可得是增函數，于是可得恒成立，利用基本不等式可求的最小值可求k的范圍
點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數函數值，及利用賦值判斷函數的奇偶性，函數的恒成立與求函數最值的相互轉換，要注意基本不等式在求解函數最值中的應用．