【題目】已知點D是橢圓C： =1（a＞b＞0）上一點，F(xiàn)1 ， F2分別為C的左、右焦點，|F1F2|=2 ，∠F1DF2=60°，△F1DF2的面積為
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點Q（1，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，點P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k1 ， k2 ， 當(dāng)k1k2最大時，求直線l的方程．

【答案】
（1）解：根據(jù)題意，橢圓C： =1（a＞b＞0）中，|F1F2|=2 ，

易知 ，

由

，

由余弦定理及橢圓定義有：

a2=4a=2，

又 ，∴ ，

從而


（2）解：根據(jù)題意，兩2種情況討論：

①當(dāng)直線l垂直于x軸時，則 ；

②當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

直線l的方程為y=k（x﹣1），

將y=k（x﹣1）代入 ，

整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，

則 ，

又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），

所以 ，

令 ，由h'（k）=0得 ，

所以當(dāng)且僅當(dāng)k=1時，k1k2最大，所以直線l的方程為x﹣y﹣1=0


【解析】1、利用面積公式可得| DF1| |DF2| = ，根據(jù)余弦定理以及橢圓的定義可求得a=2，即得橢圓的方程。
2、當(dāng)直線l的斜率不存在時，k1 k2為定值；當(dāng)直線l的斜率存在時，方程可設(shè)為y=k（x﹣1），與橢圓方程聯(lián)立后，根據(jù)韋達(dá)定理化簡整理可得 k 1 k2的關(guān)于k的式子，利用求導(dǎo)得到 k的值，進(jìn)而得到k1k2的最大值故可得直線的方程。

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（2）當(dāng)x∈[m，n]（0＜m＜n）時，若f（x）的值域為[3m2+2m﹣1，3n2+2n﹣1]，求實數(shù)m，n的值．

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