Question

17．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-lnx-2．
（1）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0，求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求導數，利用導數的幾何意義求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）先求出函數的導數，根據x的范圍解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-2，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=0，f（1）=-$\frac{3}{2}$，
∴曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=-$\frac{3}{2}$；
（2）∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-1}{x}$（x＞0），
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）遞增．

點評 本題考查利用導數研究切線方程、函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，是一道基礎題．