Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-lnx-2．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)x的范圍解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-lnx-2，
f′（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=0，f（1）=-$\frac{3}{2}$，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=-$\frac{3}{2}$；
（2）∵f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-1}{x}$（x＞0），
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究切線方程、函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，是一道基礎(chǔ)題．