Question

7．已知橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的上、下兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交橢圓于M，N兩點，且△MNF₂的周長為8，橢圓C的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知O為坐標原點，直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M'，N'是直線l上的兩點，且F₁M'⊥l，F(xiàn)₂N'⊥l，求四邊形F₁M'N'F₂面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由△MNF₂的周長為8，求出a=2，再由$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求出b，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）將直線l的方程y=kx+m代入到橢圓方程${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$中，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0．由直線與橢圓僅有一個公共點，利用根的判別式求出m²=4+k²．由此利用弦長公式，結(jié)合已知條件能求出四邊形F₁M'N'F₂面積的最大值．

解答 解：（1）因為△MNF₂的周長為8，所以4a=8，所以a=2．
又因為$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$c=\sqrt{3}$，所以$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$，
所以橢圓C的標準方程為${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）將直線l的方程y=kx+m代入到橢圓方程${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$中，
得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0．
由直線與橢圓僅有一個公共點，知△=4k²m²-4（4+k²）（m²-4）=0，化簡得m²=4+k²．
設(shè)${d_1}=|{FM'}|=\frac{{|{-\sqrt{3}+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，${d_2}=|{{F_2}N'}|=\frac{{|{\sqrt{3}+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$d_1^2+d_2^2={（{\frac{{m-\sqrt{3}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}）^2}+$${（{\frac{{m+\sqrt{3}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}}）^2}=\frac{{2（{{m^2}+3}）}}{{{k^2}+1}}$=$\frac{{2（{{k^2}+7}）}}{{{k^2}+1}}$，
${d_1}{d_2}=\frac{{|{-\sqrt{3}+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}•\frac{{|{\sqrt{3}+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{|{{m^2}-3}|}}{{{k^2}+1}}=1$，
所以$|{M'N'}|=\sqrt{{{|{{F_1}{F_2}}|}^2}-{{（{{d_1}-{d_2}}）}^2}}$=$\sqrt{12-（{d_1^2+d_2^2-2{d_1}{d_2}}）}$=$\sqrt{\frac{{12{k^2}}}{{{k^2}+1}}}$．
因為四邊形F₁M'N'F₂的面積$S=\frac{1}{2}|{M'N'}|（{{d_1}+{d_2}}）$，
所以${S^2}=\frac{1}{4}×\frac{{12{k^2}}}{{{k^2}+1}}×$$（{d_1^2+d_2^2+2{d_1}{d_2}}）$=$\frac{{3{k^2}（{4{k^2}+16}）}}{{{{（{{k^2}+1}）}^2}}}$．
令k²+1=t（t≥1），
則${S^2}=\frac{{3（{t-1}）[{4（{t-1}）+16}]}}{t^2}$=$\frac{{12（{t-1}）（{t+3}）}}{t^2}$=$\frac{{12（{{t^2}+2t-3}）}}{t^2}=12+12$$[{-3{{（{\frac{1}{t}-\frac{1}{3}}）}^2}+\frac{1}{3}}]$，
所以當$\frac{1}{t}=\frac{1}{3}$時，S²取得最大值為16，故S_max=4，
即四邊形F₁M'N'F₂面積的最大值為4．

點評 本題考查橢圓方程求法，考查四邊形面積的最大值的求法，考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．