Question

16．已知實數(shù)x，y滿足方程x²+y²-4x+1=0，求下列各式的最大值與最小值．
（1）$\frac{y}{x}$；
（2）$\frac{y-1}{x-4}$；
（3）$\frac{7x}{3y+6}$；
（4）y-x；
（5）2x+3y；
（6）x²+y²；
（7）x²-10x+y²-14y．

Answer 1

分析 （1）求得方程表示的圓的圓心和半徑，設(shè)$\frac{y}{x}$=k，由題意可得直線y=kx與圓C有交點，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（2）設(shè)$\frac{y-1}{x-4}$=k，由題意可得直線y=kx+1-4k與圓C有交點，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（3）設(shè)$\frac{7x}{3y+6}$=m，由題意可得直線7x-3my-6m=0與圓C有交點，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（4）設(shè)y-x=t，由題意可得直線x-y+t=0與圓C有交點，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（5）設(shè)2x+3y=t，由題意可得直線2x+3y-t=0與圓C有交點，可得d≤r，解不等式即可得到所求最值；
（6）可設(shè)x=2+$\sqrt{3}$cosα，y=$\sqrt{3}$sinα（0≤α＜2π），代入原式，運(yùn)用同角的平方關(guān)系和余弦函數(shù)的值域，可得最值；
（7）可設(shè)x=2+$\sqrt{3}$cosα，y=$\sqrt{3}$sinα（0≤α＜2π），代入原式，運(yùn)用同角的平方關(guān)系和輔助角公式，以及正弦函數(shù)的值域，可得最值．

解答 解：（1）x²+y²-4x+1=0即為（x-2）²+y²=3，
表示圓心為C（2，0），半徑為r=$\sqrt{3}$的圓，
設(shè)$\frac{y}{x}$=k，由題意可得直線y=kx與圓C有交點，
可得$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\sqrt{3}$，解得-$\sqrt{3}$≤k≤$\sqrt{3}$，
即有最小值為-$\sqrt{3}$，最大值為$\sqrt{3}$；
（2）設(shè)$\frac{y-1}{x-4}$=k，由題意可得直線y=kx+1-4k與圓C有交點，
可得$\frac{|2k+1-4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\sqrt{3}$，解得2-$\sqrt{6}$≤k≤2+$\sqrt{6}$，
即有最小值為2-$\sqrt{6}$，最大值為2+$\sqrt{6}$；
（3）設(shè)$\frac{7x}{3y+6}$=m，由題意可得直線7x-3my-6m=0與圓C有交點，
可得$\frac{|14-6m|}{\sqrt{49+9{m}^{2}}}$≤$\sqrt{3}$，解得$\frac{28-7\sqrt{15}}{3}$≤m≤$\frac{28+7\sqrt{15}}{3}$，
即有最小值為$\frac{28-7\sqrt{15}}{3}$，最大值為$\frac{28+7\sqrt{15}}{3}$；
（4）設(shè)y-x=t，由題意可得直線x-y+t=0與圓C有交點，
可得$\frac{|2-0+t|}{\sqrt{2}}$≤$\sqrt{3}$，解得-2-$\sqrt{6}$≤t≤-2+$\sqrt{6}$，
即有最小值為-2-$\sqrt{6}$，最大值為-2+$\sqrt{6}$；
（5）設(shè)2x+3y=t，由題意可得直線2x+3y-t=0與圓C有交點，
可得$\frac{|4+0-t|}{\sqrt{13}}$≤$\sqrt{3}$，解得4-$\sqrt{39}$≤t≤4+$\sqrt{39}$，
即有最小值為-2-$\sqrt{6}$，最大值為-2+$\sqrt{6}$；
（6）可設(shè)x=2+$\sqrt{3}$cosα，y=$\sqrt{3}$sinα（0≤α＜2π），
即有x²+y²=（2+$\sqrt{3}$cosα）²+（$\sqrt{3}$sinα）²=4+3（cos²α+sin²α）+4$\sqrt{3}$cosα
=7+4$\sqrt{3}$cosα，當(dāng)cosα=1即α=0時，取得最大值7+4$\sqrt{3}$；
當(dāng)cosα=-1即α=π時，取得最大值7-4$\sqrt{3}$；
（7）可設(shè)x=2+$\sqrt{3}$cosα，y=$\sqrt{3}$sinα（0≤α＜2π），
即有x²+y²-10x-14y=（2+$\sqrt{3}$cosα）²+（$\sqrt{3}$sinα）²-10（2+$\sqrt{3}$cosα）-14$\sqrt{3}$sinα
=-16+3（cos²α+sin²α）-6$\sqrt{3}$cosα-14$\sqrt{3}$sinα
=-13-2$\sqrt{174}$（$\frac{3}{\sqrt{58}}$cosα+$\frac{7}{\sqrt{58}}$sinα）=-13-2$\sqrt{174}$sin（α+θ），（θ為輔助角），
當(dāng)sin（α+θ）=1時，取得最小值-13-2$\sqrt{174}$；
當(dāng)sin（α+θ）=-1時，取得最大值-13+2$\sqrt{174}$．

點評 本題考查圓的方程的運(yùn)用，注意運(yùn)用直線和圓的位置關(guān)系，同時考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的值域，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．