Question

10．已知函數(shù)f（x）=2asin²x+2sinxcosx-a，（a為常數(shù)）的圖象過點$（0，-\sqrt{3}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{1}{2}m$個單位后（作長度最短的平移），其圖象關(guān)于y軸對稱，求出m的值．

Answer 1

分析 （1）求出a的值，求出函數(shù)的解析式，從而求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）根據(jù)函數(shù)圖象的平移得到平移后的解析式，結(jié)合函數(shù)的對稱性，求出m的值即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的圖象過點$（0，\sqrt{3}）$，
∴$-\sqrt{3}=2a{sin^2}0+2sin0cos0-a$，
∴$a=\sqrt{3}$，
∴$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x+2sinxcosx-\sqrt{3}=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
∵$-1≤sin（2x-\frac{π}{3}）≤1$，∴函數(shù)f（x）的值域為[-2，2]．
（2）由$y=2sin[2（x-\frac{1}{2}m）-\frac{π}{3}]=2sin（2x-m-\frac{π}{3}）$，
即函數(shù)$y=2sin（2x-m-\frac{π}{3}）$的圖象關(guān)于y軸對稱，則必有-m-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
∴要使|m|最小，則當k=-1時，$m=\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了求三角函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值域問題，是一道中檔題．