Question

11．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1時(shí)有極值0，求常數(shù)a，b的值．并求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可．

解答 解：∵f（x）在x=-1時(shí)有極值0，
且f′（x）=3x²+6ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f（-1）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b{+a}^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.$；
當(dāng)a=1，b=3時(shí)，f′（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0，
∴f（x）在R上為增函數(shù)，無(wú)極值，故舍去，
∴a=2，b=9；
當(dāng)a=2，b=9時(shí)，
f′（x）=3x²+12x+9=3（x+1）（x+3），
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜-1，
故當(dāng)x∈（-3，-1）時(shí)，f（x）為減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 不同考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．