Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x²+3x-$\frac{1}{4}$，g（x）=x-（m+1）lnx-$\frac{m}{x}$，m∈R．
（1）求函數(shù)g（x）的極值；
（2）若對(duì)任意x₁，x₂∈[1，e]，f（x₁）-g（x₂）≤1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）求出f（x）的最大值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）_min≥1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）$g'（x）=\frac{{（{x-m}）（{x-1}）}}{x^2}（{x＞0}）$-----------------（2分）
①當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_極小值=f（1）=1-m，無(wú)極大值．----------------------（3分）
②當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，m）上是增函數(shù)，
在區(qū)間（m，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_極大值=f（m）=m-（m+1）lnm-1，f（x）_極小值=f（1）=1-m．--------（4分）
③當(dāng)m=1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）是增函數(shù)，∴f（x）無(wú)極值．----------------（5分）
④當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，
在區(qū)間（1，m）上是減函數(shù)，在區(qū)間（m，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_極小值=f（m）=m-（m+1）lnm-1，f（x）_極大值=f（1）=1-m．---------（6分）
（2）∵$f（x）=-{（x-\frac{3}{2}）^2}+2$，∴$f{（x）_{max}}=f（\frac{3}{2}）=2$，
由題意，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）_max-g（x）_min≤1即g（x）_min≥1．---------------（8分）
①當(dāng)m≤1時(shí)，g（x）_min=g（1）=1-m，∵1-m≥1，∴m≤0．----------------（10分）
②當(dāng)1＜m＜e時(shí)，g（x）_min=g（m）=m-（m+1）lnm-1，
令F（m）=m-（m+1）lnm-1（1＜m＜e），
則$F'（m）=-1-\frac{1}{m}＜0$，∴F（m）是減函數(shù)，
∴F（m）＜F（1）=0，∴g（m）＜0，不合題意．-----------------（13分）
③當(dāng)m≥e時(shí)，$g{（x）_{min}}=g（e）=e-（m+1）-\frac{m}{e}$，
∵$e-（m+1）-\frac{m}{e}≥1$，∴$m≤\frac{{{e^2}-2e}}{e+1}$，這與m≥e矛盾，舍去．-----------------------------（15分）
綜上，m的取值范圍是（-∞，0]．--------------------------------（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．