Question

【題目】一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M，N分別是AF，BC的中點(diǎn)）．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A﹣CDEF的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，

且AB=BC=BF=2，DE=CF=2 ，∴∠CBF= ．

證明：取BF的中點(diǎn)G，連接MG、NG，

由M，N分別為AF，BC的中點(diǎn)可得，NG∥CF，MG∥EF，

∴平面MNG∥平面CDEF，又MN平面MNG，

∴MN∥平面CDEF

（2）解：取DE的中點(diǎn)H．

∵AD=AE，∴AH⊥DE，

在直三棱柱ADE﹣BCF中，

平面ADE⊥平面CDEF，

平面ADE∩平面CDEF=DE．∴AH⊥平面CDEF．

∴多面體A﹣CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH= ．

S矩形CDEF=DEEF=4 ，

∴棱錐A﹣CDEF的體積為

V= S矩形CDEFAH= ×4 × =

【解析】由三視圖可知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱ADE﹣BCF，且底面是一個(gè)直角三角形，由三視圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)易計(jì)算出三棱柱中各棱長(zhǎng)的值．（1）取BF的中點(diǎn)G，連接MG、NG，利用中位線的性質(zhì)結(jié)合線面平行的充要條件，易證明結(jié)論（2）多面體A﹣CDEF的體積是一個(gè)四棱錐，由三視圖易求出棱錐的底面面積和高，進(jìn)而得到棱錐的體積．
【考點(diǎn)精析】掌握簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖和直線與平面平行的判定是解答本題的根本，需要知道畫(huà)三視圖的原則：長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．