Question

【題目】函數(shù)

（Ⅰ）討論的單調(diào)性;

（Ⅱ）若有三個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）由 ，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0得函數(shù)增區(qū)間，當(dāng)函數(shù)小于0得函數(shù)減區(qū)間，討論，和四種情況即可；

（Ⅱ）由函數(shù)單調(diào)性可知和不成立，若，則要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立，若，則要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立，依次討論求解即可.

詳解：（Ⅰ）

①若，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

②若，則，（僅），單調(diào)遞增.

③若，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

④若，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

（Ⅱ）法一：①由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，至多有兩個(gè)零點(diǎn).

②由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，至多有一個(gè)零點(diǎn).

③若，則要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立，

由，得，這與矛盾，所以不可能有三個(gè)零點(diǎn).

④若，則要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有成立，

由，得，由及，得，

.

并且，當(dāng)時(shí)，

，.

綜上，使有三個(gè)零點(diǎn)的的取值范圍為.

法二：由，得，

令，則，

當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為，

當(dāng)時(shí)，取得極大值，極大值為；

并且

，.

綜上可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線恰有三個(gè)不同的交點(diǎn).所以，使有三個(gè)零點(diǎn)的的取值范圍為.