Question

已知函數(shù)f(x)=2cos(2x+

π

4

)，x∈[-

π

4

，

3π

4

]．
（1）若f（x）=1，求x取值的集合．
（2）解不等式f(x)≤-

2

．
（3）求函數(shù)f（x）的最大值和最小值，并求取得最大值與最小值時(shí)x的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意得2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，由f（x）=2cos（2x+

π

4

）=1知cos（2x+

π

4

）=

1

2

，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得x取值的集合；
（2）當(dāng)2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]時(shí)，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式cos（2x+

π

4

）≤-

2

2

即可求得答案；
（3）2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，利用余弦函數(shù)的最值即可求得函數(shù)f（x）的最大值和最小值，及取得最大值與最小值時(shí)x的取值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（2x+

π

4

）=1，
∴cos（2x+

π

4

）=

1

2

；
又x∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，
∴2x+

π

4

=

π

3

或2x+

π

4

=

5π

3

，
解得：x=

π

24

或x=

17π

24

，
∴x取值的集合為{

π

24

，

17π

24

}；
（2）∵2cos（2x+

π

4

）≤-

2

，
∴cos（2x+

π

4

）≤-

2

2

，
又2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，
∴

3π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，
解得：

π

4

≤x≤

π

2

，
∴原不等式的解集為{x|

π

4

≤x≤

π

2

}；
（3）∵2x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

4

]，
∴當(dāng)2x+

π

4

=0，即x=-

π

8

時(shí)，f（x）=2cos（2x+

π

4

）取得最大值2，
當(dāng)2x+

π

4

=π，即x=

3π

8

時(shí)，f（x）=2cos（2x+

π

4

）取得最小值-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查綜合分析與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．