Question

如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB＝AE，F(xiàn)A＝FE，∠AEF＝45°

(Ⅰ)求證：EF⊥平面BCE；

(Ⅱ)設線段CD的中點為P，在直線AE上是否存在一點M，使得PM∥平面BCE？若存在，請指出點M的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由；

(Ⅲ)求二面角F―BD―A的大小．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC平面ABCD， 　　 　　取BE的中點N，連接AN，MN，則MN∥＝∥＝PC 　　所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN 　　因為CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內， 　　所以PM∥平面BCE　　8分 　　(Ⅲ)由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 　　作FG⊥AB，交BA的延長線于G，則FG∥EA．從而，F(xiàn)G⊥平面ABCD 　　作GH⊥BD于G，連結FH，則由三垂線定理知，BD⊥FH 　　因此，∠AEF為二面角F－BD－A的平面角 　　因為FA＝FE，∠AEF＝45°， 　　所以∠AFE＝90°，∠FAG＝45°． 　　 　　解法二： 　　(Ⅰ)因為△ABE為等腰直角三角形，AB＝AE， 　　所以AE⊥AB 　　又因為平面ABEF⊥平面ABCD，AE平面ABEF， 　　平面ABEF∩平面ABCD＝AB， 　　所以AE⊥平面ABCD． 　　所以AE⊥AD． 　　因此，AD，AB，AE兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系A－xyz． 　　設AB＝1，則AE＝1，B(0，1，0)，D(1，0，0)，E(0，0，1)，C(1，1，0)． 　　因為FA＝FE，∠AEF＝45°， 　　所以∠AFE＝90°． 　　 　　所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直線PM不在平面BCE內， 　　故PMM∥平面BCE　　8分

提示：

本小題主要考察平面與平面垂直、直線與平面垂直、直線與平面平行、二面角等基礎知識，考察空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學探究意識，考察應用向量知識解決數(shù)學問題的能力．