Question

給出定義：若函數(shù)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，即f′（x）存在，且導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（a，b）上也可導(dǎo)，則稱f（x）在（a，b）上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記f″（x）=（f′（x））′．若f″（x）＜0在（a，b）上恒成立，則稱函數(shù)f（x）在（a，b）上為凸函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=

1

12

x4-

1

6

mx3-

3

2

x2，若對任意實(shí)數(shù)m滿足|m|≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（a，b）上為凸函數(shù)，則b-a的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先求出f″（x），問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)|m|≤2時(shí)，mx＞x²-3恒成立，討論當(dāng)x=0時(shí)，x＞0，x＜0的情況，從而求出x的范圍，進(jìn)而解出答案．

解答： 解：∵f′（x）=

1

3

x³-

1

2

mx²-3x，
∴f″（x）=x²-mx-3，
當(dāng)|m|≤2時(shí)，f″（x）=x²-mx-3＜0恒成立，
?當(dāng)|m|≤2時(shí)，mx＞x²-3恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，f″（x）=-3＜0顯然成立．
當(dāng)x＞0，x-

3

x

＜m．
∵m的最小值是-2．
∴x-

3

x

＜-2．
從而解得0＜x＜1，
當(dāng)x＜0，x-

3

x

＞m，
∵m的最大值是2，∴x-

3

x

＞2，
從而解得-1＜x＜0．
綜上可得-1＜x＜1，從而（b-a）_max=1-（-1）=2．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．