Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、H分別是棱A₁B₁、C₁D₁上的點（點E 與B₁不重合），且EH∥A₁D₁；過EH的平面與棱BB₁、CC₁相交，交點分別為F、G．
（1）證明：AD∥平面EFGH；
（2）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機選取一點，記該點取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH 內(nèi)的概率為P，當(dāng)A₁E=EB₁，B₁B=4B₁F時，求P的值．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,幾何概型

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)線面平行的判定定理，只需要證明AD∥EH即可，問題得以解決．
（2）求出對應(yīng)區(qū)域的體積，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）證明：：∵EH∥A₁D₁，A₁D₁∥EH，
∴AD∥EH，
∵EH?平面EFGH；AD?平面EFGH；
∴AD∥平面EFGH；
（2）∵EH∥A₁D₁，過EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點分別為F，G．
∴FG∥EH，
即幾何體B₁FE-C₁GH是三棱柱，
設(shè)長方體的三條棱長AB=a，AD=b，AA₁=c，
∵A₁E=EB₁，B₁B=4B₁F，
∴B₁E=

1

2

a，B₁F=

1

4

c，
則三棱柱B₁FE-C₁GH的體積V=

1

2

×

1

2

a×

1

4

c×b=

1

16

abc，
長方體的體積V=abc，
則幾何體A₁ABFE-D₁DCGH的體積V₁=abc-

1

16

abc=

15

16

abc，
則根據(jù)幾何概型的概率公式可得在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機選取一點，則該點取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率P=

15 16 abc

abc

=

15

16

．

點評：本題主要考查幾何概型的概率計算以及空間幾何體的體積計算，根據(jù)條件求出對應(yīng)的幾何體的體積是解決本題的關(guān)鍵．